Question

【例1】已知：关于x的方程mx23(m1)x2m30．

Answer 1

1）本题中，二次项系数m的值不确定，分为m=0，m≠0两种情况，分别证明方程有实数根； （2）设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1，x2，则两交点之间距离为|x1-x2|=2，再与根与系数关系的等式结合变形，可求m的值，从而确定抛物线的解析式； （3）分三种情况：只与抛物线y1有两个交点，只与抛物线y2有两个交点，直线过抛物线y1、y2的交点，观察图象，分别求出b的取值范围．（1）分两种情况讨论． ①当m=0时，方程为x-2=0，x=2． ∴m=0时，方程有实数根． ②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式 △=[-（3m-1）]2-4m（2m-2） =9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1 =（m+1）2≥0， ∴m≠0时，方程有实数根． 故无论m取任何实数时，方程恒有实数根． 综合①②可知，m取任何实数，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根； （2）设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标， 则x1+x2=3m−1 m ，x1x2=2m−2 m ． 由|x1-x2|= (x1+x2)2−4x1x2 = 9m2−6m+1 m2 −8m2−8m m2 = m2+2m+1 m2 = (m+1)2 m2 =|m+1 m |． 由|x1-x2|=2，得|m+1 m |=2， ∴m+1 m =2或m+1 m =-2． ∴m=1或m=-1 3 ． ∴所求抛物线的解析式为y1=x2-2x， y2=-1 3 （x-2）（x-4）． 其图象如右图所示： （3）在（2）的条件下y=x+b与抛物线 y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象求b的取值范围． y1＝x2−2x y＝x+b ， 当y1=y时，得x2-3x-b=0，有△=9+4b=0得b=-9 4 ． 同理 y2＝−1 3 x2+2x−8 3 y＝x+b ，△=9-4（8+3b）=0，得b=-23 12 ． 观察图象可知， 当b＞-9 4 ，或b＜-23 12 直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点； 由 y1＝x2−2x y2＝−1 3 (x−2)(x−4) ， 当y1=y2时，有x=2或x=1． 当x=1时，y=-1． 所以过两抛物线交点（1，-1），（2，0）的直线为y=x-2． 综上所述可知：当b＜-9 4 或b＞-23 12 或b=-2时， 直线y=x+b与（2）中图象只有两个交点．