解题思路：当△BCP为等腰三角形时应分当C是顶角顶点，当B是顶角顶点，当P是顶角的顶点三种情况进行讨论，利用勾股定理和三角形的中位线定理求得BP的长，从而求解．
当C是顶角顶点时，当如图（1）所示：PC=BC=3，则运动的时间是3秒；
当如图（2）所示：CE=[AC•BC/AB]=[3×4/5]=[12/5]，
在直角△BCE中，BE=
BC2−CE2=[9/5]．
则PB=2BE=[18/5]，AC+AP=4+5-[18/5]=[27/5]；
当B是顶角顶点时，AP+AC=AC+AB-BP=4+5-3=6，则t的值是6；
当P是顶角的顶点时，P是BC的中垂线与AB的交点，如图（3），
PE是△ABC的中位线，则PE=[1/2]AC=2，
则直角△BPE中，BP=
BE2+PE2=
22+(
3
2)2=[5/2]，
则AC+AP=AC+AB-BP=4+5-[5/2]=[13/2]，则运动的时间t是[13/2]秒．
故答案是：3或6或[27/5]或[13/2]．
点评：
本题考点： 勾股定理；等腰三角形的判定．
考点点评： 本题考查了等腰三角形的性质，正确进行讨论是关键．