Question

已知AM是⊙O的直径，B是⊙O上一点，过点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点M，弦CD交AM于点E．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接BM，

∵AM是⊙O的直径，

∴∠ABM=90°．

∵CD⊥AB，

∴BM∥DC．

∴∠NBM=∠NCE．

∵ON是弦心距，

∴BN=NC，

在△NEC和△NMB中，

∠ENC＝∠MNB

∠M＝∠C

BN＝NC，

∴△NEC≌△NMB（ASA）．

∴EN=NM．

（2）证明：如图2，连接AC，BE，BD．

∵CD=AB，

∴

ADB=

DBC，

∴

AD=

BC，

∴∠ACD=∠BDC．

∴∠ACD=∠ABE，

∴∠BDC=∠ABE，∠BEF=∠BEF．

∴△FEB∽△BED．

∴EF•DE=BE²=CE²．

（3）如图3，（2）的结论仍成立

．

证明：∵AM⊥BC，

∴BE=CE，AB=AC．

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵AB=CD，

∴∠4=∠DBC．

∴∠3=∠DBC=∠2+∠5．

又∵∠3=∠F+∠1，

∴∠F=∠5．

∵∠BED=∠FEB，

∴△BDE∽△FBE．

∴BE：EF=ED：BE_，
∴BE²=EF•ED．

∴CE²=EF•ED．