Question

（2014•荆门模拟）列数阵为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列

Answer 1

解题思路：（1）利用累加法，然后由等差数列的前n项和公式得答案；

（2）由等差数列的通项公式把数表中的每一个数用行数与列数表示，然后求解质因数，则答案可求．

（1）由“森德拉姆筛”数表中的数据a₁=2，a₂=5，a₃=10，a₄=17，…可知：

a₂-a₁=3，

a₃-a₂=5，

a₄-a₃=7，

…

a_n-a_n-1=2n-1．

累加得：a_n-a₁=3+5+7+…+2n-1=

(3+2n−1)(n−1)

2＝n2−1．

∴an＝n2−1+a1＝n2−1+2＝n2+1．

（2）第i行第j列的数记为A_ij．那么每一组i与j的解就是表中一个数．

∵第一行数组成的数列A_1j（j=1，2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，

∴A_1j=2+（j-1）×1=j+1，

∴第j列数组成的数列A_1j（i=1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，

∴A_ij=j+1+（i-1）×j=ij+1．

令A_ij=ij+1=2014，

即ij=2013=1×2013=3×671=11×183=61×33=33×61=183×11=671×3=2013×1．

故2014年的“幸运数”出现的次数为8次．

故答案为：（1）n²+1，（2）8．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查了等差数列的通项公式，训练了累加法求数列的和，解答的关键是对题意的理解，属中档题．