Question

求质数p使4乘以p的平方+1和6乘以p的平方+1同时为质数

Answer 1

求所有的质数p,使4p^2+1和6p^2+1也是质数.

答案：

考虑p对5的余数,余数为1时

余数为1时：4p^2+1≡4*1+1≡0(mod5),由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除,所以一定不是质数;

余数为2时：6p^2+1≡6*4+1≡0(mod5),由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除,所以一定不是质数;

余数为3时：6p^2+1≡6*9+1≡0(mod5),由于6p^2+1>=6*2^2+1=25,而又可以被5整除,所以一定不是质数;

余数为4时：4p^2+1≡4*16+1≡0(mod5),由于4p^2+1>=4*2^2+1=17,而又可以被5整除,所以一定不是质数;

所以由上可知5|p,然而p是质数,所以p只能是5.