Question

f(x)=x^2(x-a),g(x)=f(x)/x+lnx+1大于等于0对任意的x属于[1/2,+无穷)恒成立.

Answer 1

g(x)=x(x-a)+lnx+1≥0在x∈[1/2,+∞)恒成立

分离常数a,该问题便等价于a≤x+[lnx+1]/x,在x∈[1/2,+∞)恒成立

只需a≤minh(x),其中h(x)=x+[lnx+1]/x,x∈[1/2,+∞)

求导易得h'(x)=1-(lnx)/x²=[x²-lnx]/x²,x∈[1/2,+∞)

下面判断h'(x)的符号,只需判断x²-lnx的符号

记F(x)=x²-lnx,x∈[1/2,+∞)

令F'(x)=2x-1/x=(2x²-1)/x=0得x=√2/2,

知当x∈[1/2,√2/2),F'(x)0,x∈[1/2,+∞),则h(x)在x∈[1/2,+∞)单调增加

进而minh(x)=h(1/2)=1/2+2[1-ln2]=5/2-2ln2