Question

如图，正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为a，E为DD 1 的中点．

Answer 1

（1）证明：连接BD交AC于F，连EF．（1分）

因为F为正方形ABCD对角线的交点，

所长F为AC、BD的中点．（3分）

在DDD ₁B中，E、F分别为DD ₁、DB的中点，

所以EF ∥ D ₁B．（5分）

又EFÌ平面EAC，所以BD ₁∥ 平面EAC．（7分）

（2）设D ₁到平面EAC的距离为d．

在DEAC中，EF^AC，且 AC=

2 a ， EF=

3

2 a ，

所以 S △EAC =

1

2 EF•AC=

6

4 a 2 ，

于是 V D 1 -EAC =

1

3 d S △EAC =

6

12 a 2 d ．（9分）

因为 V A-E D 1 C =

1

3 AD• S △E D 1 C =

1

3 a×

1

2 ×

1

2 a×a=

1

12 a 3 ，（11分）

又 V D 1 -EAC = V A-E D 1 C ，即

6

12 a 2 d=

1

12 a 3 ，（13分）

解得 d=

6

6 a ，故D ₁到平面EAC的距离为

6

6 a ．（14分）