Question

已知函数f（x）=ex-2x，g（x）=x2+m（m∈R）

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）首先要理解任意和存在在题目中的意思，将原命题转化为[g（x）]_min＜[f（x）]_min，构造关于x不等式求解；

（Ⅱ）首先解决两个变量a，x对函数的影响，一般依次看做a和x的函数，将二元函数转化为一元函数问题；（1）看成a的一次函数，转化为关于x的函数，然后再求相关函数值域；

（2）根据根的存在性定理知 h（x）在[0，3]上的最大值与最小值要异号，从而找到m关于a的关系，得到m的最值．

解（Ⅰ）原命题可化为[g（x）]_min＜[f（x）]_min，

令f'（x）=e^x-2=0，得x=ln2．

当x＞ln2时，f'（x）＞0；当x＜ln2时，f'（x）＜0，

故当x=ln2时，y=f（x）取得极（最）小值，其最小值为2-2ln2；

而函数y=g（x）的最小值为m，故当m＜2-2ln2时，结论成立

（Ⅱ）（1）∵由h（x）=a（e^x-2x）-x²-m，

∴可得h'（x）=a（e^x-2）-2x，将h'（x）看作关于a的一次函数：

当x∈[0，ln2]时，e^x-2＜0，因为a∈[1，2]，故2（e^x-2）-2x≤h'（x）≤（e^x-2）-2x，

令M（x）=2（e^x-2）-2x，x∈[0，ln2]，

则M'（x）=2e^x-2＞0，M（x）在x∈[0，ln2]为增函数，

故h'（x）在x∈[0，ln2]最小值为M（0）=-2，

又令N（x）=（e^x-2）-2x，同样可求得N（x）在x∈[0，ln2]的最大值N（0）=-1，

故函数y=h'（x）在x∈[0，ln2]的值域为[-2，-1]

（Ⅱ）（2）由（1）可知x∈[0，ln2]时，y=h'（x）＜0，

故∀a∈[1，2]，h（x）在x∈[0，ln2]均为单调递减函数，

故函数h（x）_max=h（0）=a-m；

当x∈[ln2，3]时，

∵e^x-2＞0，a∈[1，2]，

∴h'（x）的值在区间[（e^x-2）-2x，2（e^x-2）-2x]上变化，

此时，对于函数 M（x）=2（e^x-2）-2x，存在x₀∈[ln2，3]，M（x）在x∈[ln2，x₀]单调递减，在x∈[x₀，3]单调递增，

∴h（x）在x∈[ln2，3]的最大值为h（3）=a（e³-6）-9-m，

∵a∈[1，2]，h（3）-h（0）=a（e³-7）-9＞0，

∴h（3）＞h（0），

因此h（x）的最大值是h（3）=a（e³-6）-9-m，

故当函数y=h（x）有零点时，a（e³-6）-9-m≥0

∵a∈[1，2]，m≤2（e³-6）-9，

∴实数m的最大值是m=2（e³-6）-9=2e³-21．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查了函数与方程的关系，以及利用导数讨论函数的最值．本题的难点是二元函数的转化问题，在二元函数转化时要先固定一个变量．求解本题要熟练掌握导数求最值得方法．