解题思路：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数f（x）的解析式为
1
2
cos(2x−A)
，由此可求它的最大值．
（Ⅱ）由（ I）知：由
2π
3
−A＝2kπ，k∈Z
，求得A的值，再利用正弦定理及两角和差的正弦公式、余弦公式，化简要求的式子，求得结果．
（Ⅰ）依题意得f(x)＝cos2xcosA+cosxsinxsinA−
1
2cosA…（2分）
=[1/2(cos2x•cosA+sin2x•sinA)=
1
2cos(2x−A)，…（5分）
所以T=π，(f(x))max＝
1
2]．…（7分）
（Ⅱ）由（ I）知：由[2π/3−A＝2kπ，k∈Z，得A＝
2π
3−2kπ∈(0，π)，
所以A＝
2π
3]．
故
a(cosB+cosC)
(b+c)sinA=[cosB+cosC/sinB+sinC＝
cos(
π
3−C)+cosC
sin(
π
3−C)+sinC]=
3
2cosC+
3
2sinC
3
2cosC+
1
2sinC＝
3．…（14分）
点评：
本题考点： 两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．
考点点评： 本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦定理以及二倍角公式的应用，属于中档题．