Question

已知圆P：x 2 +y 2 -2y-3=0，抛物线C以圆心P为焦点，以坐标原点为顶点．

Answer 1

（1）圆x ²+y ²-2y-3=0化为标准方程：x ²+（y-1） ²=4

∴圆的圆心P（0，1）…（1分），

设抛物线C：x ²=2py…（2分），

∵抛物线C以圆心P为焦点，

∴

p

2 =1 …（3分），

∴p=2

∴所求抛物线的方程为x ²=4y…（4分）．

（2）由方程组

x 2 + y 2 -2y-3=0

x 2 =4y 可得y=1…（5分），

依题意，圆P与抛物线C在第一象限的交点为A，∴A（2，1）…（6分），

抛物线C即函数 y=

1

4 x 2 的图象，当x=2时，切线的斜率 k=y′=

1

2 x=1 …（8分），

∴切线为y-1=1×（x-2），即x-y-1=0…（9分），

∴x=0时，y=-1，所以Q（0，-1）…（10分）．

∵动点M到P、Q两点距离之和等于6

∴M的轨迹是焦点在y轴的椭圆，

设它的方程为

x 2

b 2 +

y 2

a 2 =1(a＞b＞0) …（12分），

则2a=|MP|+|MQ|=6，2c=|PQ|=2…（13分），

∴a=3，b ²=a ²-c ²=8，

∴M的轨迹方程为

x 2

8 +

y 2

9 =1 …（14分）．