解题思路:(1)作出线段MP的垂直平分线和MP的交点即为所求的中的O;
(2)由折叠的性质知:MN⊥AP,在Rt△AFN中,cos∠FAN=[AF/AN],在Rt△ADP中,cos∠PAD=[AD/AP],由∠FAN=∠PAD,可得:[AF/AN=
AD
AP],又P与D不重合,故 [AD/AP]≠[AP/AD],可得:[AF/AN]≠[AP/AD]不相等;
(3)作辅助线连接HO并延长交BC于J,根据折叠的性质知:MN垂直平分AP,可得:AM=PM,AM为⊙O的切线,可得:∠AMP=∠CMP+∠AMB=90°,又∠BAM+∠AMB=90°,可得:∠CMP=∠BAM,∠B=∠C=90°,可证:△ABM≌△MCD,MC=AB,BM=CP,由AD为⊙O的切线,可得:OJ⊥AD,故:JH∥CP,△MOJ∽△MPC,设PD的长为x,则PC=AB-x,OJ=[1/2]PC,OH=AB-OJ可求出⊙O的半径,又MC=AB,故在Rt△MCP中,运用勾股定理可将PD的长求出进而确定P点的位置.
(1)如图所示:
(2)[AF/AN]与[AP/AD]是不相等.
理由如下:
∵P,A关于MN对称,
∴MN垂直平分AP,
∴cos∠FAN=[AF/AN],
∵∠D=90°,
∴cos∠PAD=[AD/AP],
∵∠FAN=∠PAD,
∴[AF/AN=
AD
AP],
∵P不与D重合,P在边DC上,
∴AD≠AP,
∴[AD/AP]≠[AP/AD],
∴[AF/AN]≠[AP/AD];
(3)∵AM是⊙O的切线,
∴∠AMP=90°,
∴∠CMP+∠AMB=90°,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠CMP=∠BAM,
∵MN垂直平分AP,
∴MA=MP,
∵∠B=∠C=90°,
∴△ABM≌△MCP,
∴MC=AB=4,
设PD=x,则CP=4-x,
∴BM=PC=4-x,
连接HO并延长交BC于J,
∵AD是⊙O的切线,
∴∠JHD=90°,
∴HDCJ为矩形,
∴OJ∥CP,
∴△MOJ∽△MPC,
∴OJ:CP=MO:MP=1:2,
∴OJ=[1/2](4-x),
OH=[1/2]MP=4-OJ=[1/2](4+x),
∵MC2=MP2-CP2,
∴(4+x)2-(4-x)2=16,
解得:x=1,即PD=1,PC=3,
∴点P在离点C3个单位处.
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;切线的判定与性质;翻折变换(折叠问题).
考点点评: 此题作为压轴题,综合考查了切线的性质,三角形相似的判定与性质以及勾股定理等知识,综合性很强,具有一定的难度.
1年前
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