已知:如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与D、C重合)MN为折痕;点M、N分别在边B

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  • 解题思路:(1)作出线段MP的垂直平分线和MP的交点即为所求的中的O;

    (2)由折叠的性质知:MN⊥AP,在Rt△AFN中,cos∠FAN=[AF/AN],在Rt△ADP中,cos∠PAD=[AD/AP],由∠FAN=∠PAD,可得:[AF/AN=

    AD

    AP],又P与D不重合,故 [AD/AP]≠[AP/AD],可得:[AF/AN]≠[AP/AD]不相等;

    (3)作辅助线连接HO并延长交BC于J,根据折叠的性质知:MN垂直平分AP,可得:AM=PM,AM为⊙O的切线,可得:∠AMP=∠CMP+∠AMB=90°,又∠BAM+∠AMB=90°,可得:∠CMP=∠BAM,∠B=∠C=90°,可证:△ABM≌△MCD,MC=AB,BM=CP,由AD为⊙O的切线,可得:OJ⊥AD,故:JH∥CP,△MOJ∽△MPC,设PD的长为x,则PC=AB-x,OJ=[1/2]PC,OH=AB-OJ可求出⊙O的半径,又MC=AB,故在Rt△MCP中,运用勾股定理可将PD的长求出进而确定P点的位置.

    (1)如图所示:

    (2)[AF/AN]与[AP/AD]是不相等.

    理由如下:

    ∵P,A关于MN对称,

    ∴MN垂直平分AP,

    ∴cos∠FAN=[AF/AN],

    ∵∠D=90°,

    ∴cos∠PAD=[AD/AP],

    ∵∠FAN=∠PAD,

    ∴[AF/AN=

    AD

    AP],

    ∵P不与D重合,P在边DC上,

    ∴AD≠AP,

    ∴[AD/AP]≠[AP/AD],

    ∴[AF/AN]≠[AP/AD];

    (3)∵AM是⊙O的切线,

    ∴∠AMP=90°,

    ∴∠CMP+∠AMB=90°,

    ∵∠BAM+∠AMB=90°,

    ∴∠CMP=∠BAM,

    ∵MN垂直平分AP,

    ∴MA=MP,

    ∵∠B=∠C=90°,

    ∴△ABM≌△MCP,

    ∴MC=AB=4,

    设PD=x,则CP=4-x,

    ∴BM=PC=4-x,

    连接HO并延长交BC于J,

    ∵AD是⊙O的切线,

    ∴∠JHD=90°,

    ∴HDCJ为矩形,

    ∴OJ∥CP,

    ∴△MOJ∽△MPC,

    ∴OJ:CP=MO:MP=1:2,

    ∴OJ=[1/2](4-x),

    OH=[1/2]MP=4-OJ=[1/2](4+x),

    ∵MC2=MP2-CP2

    ∴(4+x)2-(4-x)2=16,

    解得:x=1,即PD=1,PC=3,

    ∴点P在离点C3个单位处.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;切线的判定与性质;翻折变换(折叠问题).

    考点点评: 此题作为压轴题,综合考查了切线的性质,三角形相似的判定与性质以及勾股定理等知识,综合性很强,具有一定的难度.

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