(2005•深圳)AB是⊙O的直径,点E是半圆上一动点(点E与点A、B都不重合),点C是BE延长线上的一点,且CD⊥AB

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  • 解题思路:(1)要证△AHD∽△CBD,只要证明这两个三角形的两组对边的比相等,就可以证出;

    (2)①设OD=x,则BD=1-x,AD=1+x,由Rt△AHD∽Rt△CBD可用x表示出DH的值,在Rt△HOD中利用勾股定理可用x表示出OH的值,进而可得出结论;

    ②当点E移动到使D与O重合的位置时,这时HD与HO重合,由Rt△AHO∽Rt△CBO,利用对应边的比例式为方程,可以算出HD=HO=[1/2],即HD+HO=1;

    ③当D在OA段时BD=1+x,AD=1-x,证明同①.

    (1)证明:AB是⊙O的直径

    ∴∠AEB=90°,则∠ABC+∠BAE=90°,

    又∵CD⊥AB,

    ∴∠BAE+∠AHD=90°,

    ∴∠AHD=∠ABC,

    又∵∠ADH=∠CDB=90°,

    ∴△AHD∽△CBD.

    (2)设OD=x,则BD=1-x,AD=1+x,

    ∵Rt△AHD∽Rt△CBD,

    则HD:BD=AD:CD,

    即HD:(1-x)=(1+x):2,

    即HD=

    1−x2

    2,

    在Rt△HOD中,由勾股定理得:

    OH=

    OD2+HD2=

    x2+(

    1−x2

    2)2=

    1+x2

    2,

    所以HD+HO=

    1−x2

    2+

    1+x2

    2=1;

    ②当点E移动到使D与O重合的位置时,这时HD与HO重合,由Rt△AHO∽Rt△CBO,利用对应边的比例式为方程,可以算出HD=HO=[1/2],即HD+HO=1;

    ③当D在OA段时BD=1+x,AD=1-x,证明同①∵Rt△AHD∽Rt△CBD,

    则HD:BD=AD:CD,

    即HD:(1-x)=(1+x):2,

    即HD=

    1−x2

    2,

    在Rt△HOD中,由勾股定理得:

    OH=

    OD2+HD2=

    x2+(

    1−x2

    2)2=

    1+x2

    2

    点评:

    本题考点: 勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题主要考查了三角形相似的证明方法,有两组对应角相等的三角形相似;在第二问中根据三角形相似,对应边的比相等,把问题转化为解方程的问题.