解题思路：因为重叠部分总等于三角形面积的13，可以先从三角形考虑，O为中心也就是与正三角形的中心角重合，所以应为120°，证明是要分两种情况：即特殊和一般，特殊情况时就是猜想所用的情况，显然成立，一般情况的证明从三角形全等把四边形的面积分解成两个三角形，最后再归到正三角形的中心角为120°的三角形．
当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的[1/3]．
证明如下：
（1）当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时：
显然，△ABC与扇形重叠部分的面积等于△ABC的面积的[1/3]；
（2）当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时：
如图，连接OA、OB，设OD交AB于F，OE交BC于G，
∵O是正三角形的中心，
∴OA=OB，∠OAF=∠OBG，
∠AOB=[1/3]×360°=120°（等边三角形的中心角等于[360°/3]），
∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=120°-∠BOF，
∠BOG=120°-∠BOF，
∴∠AOF=∠BOG，
在△AOF和△BOG中
∠OAF＝∠OBG
OA＝OB
∠AOF＝∠BOG，
∴△AOF≌△BOG（ASA），
即S四边形OFBG=S△AOB=[1/3]S△ABC，
即△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的[1/3]，
同理可证，当扇形ODE旋转至其他位置时，结论仍成立．
由（1）、（2）可知，当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC的面积的[1/3]．
点评：
本题考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；猜想时从三角形考虑是解答本题的突破点，证明时一般情况的证明容易被学生忽视．