显然不对.考试时这样写肯定没分.
例如A=diag{1, 0, 1, 0}（以1010为主对角线的对角阵）,那么A=A^2.你的证明从第一步开始就是错的.
而且即使真的是对的,你下面的过程也只是验证0和1可以,没有排除其他的可能性.就像解方程sin nπ = 0,验证n=0和1是对的于是结束,结果挂一漏万.
证明：参见这里http://zhidao.baidu.com/question/88335483.html
设a为矩阵A的特征值,X为对应的非零特征向量.
那么,aX = AX = A^2X = A(AX) = A(aX) = aAX = a(aX) = a^2X
(a^2 - a)X = 0
因X为非零向量,所以.
0 = a^2 - a = a(a-1),
a = 0或1.
或者直接用Hamilton-Cayley定理：
A^2=A,说明f(x)=x^2-x是矩阵A的一个化零多项式.根据Hamilton-Cayley定理,A的特征值只可能是化零多项式的根,即0或1.