解题思路：（1）根据{bn}中
b
n
• lo
g
9
a
n
+1
a
n
−1
＝1，n∈
N
*
，
a
n+1
＝
1
2
(
a
n
+
1
a
n
)
，可得
b
n+1
＝
1
2
b
n
，从而可证数列{bn}为等比数列，并求出其通项公式；
（2）先将通项化简可得
4
b
n
＝
1
(
1
2
)
n
＝
2
n
，从而有
C
n
＝
n
4
b
n
+
(−1)
n
＝
n
2
n
+
(−1)
n
，先证：
n
2
n
+
(−1)
n
＜
n+1
2
n
(n≥3)
，从而有
1
4
b
1
+(−1)
+
2
4
b
2
+
(−1)
2
+
3
4
b
3
+
(−1)
3
+…+
n
4
b
n
+
(−1)
n
＜
2
2
1
+
3
2
2
+
4
2
3
+…+
n+1
2
n
令
T＝
2
2
1
+
3
2
2
+
4
2
3
+…+
n+1
2
n
①[1/2T＝
2
2
2
+
3
2
3
+…+
n
2
n
+
n+1
2
n+1
]②，利用错位相减法即可求解．
证明：（1）由bn+1 • log9
an+1+1
an+1−1＝1⇒bn+1 • log9
1
2(an+
1
an)+1
1
2(an+
1
an)−1＝1⇒bn+1 • log9(
an+1
an−1)2＝1⇒2bn+1 • log9
an+1
an−1＝1又bn • log9
an+1
an−1＝1
∴bn+1＝
1
2bn
又n=1时，b1 • log9
a1+1
a1−1＝1⇒b1＝2
∴{bn}为等比数列，b1=2，q＝
1
2，∴bn＝2 • (
1
2)n−1＝(
1
2)n−2
（2）∵bn＝(
1
2)n−2＝4 • (
1
2)n⇒
4
bn＝
1
(
1
2)n＝2n
∴
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列递推式．
考点点评： 本题以数列为载体，考查等比数列，考查数列与不等式，考查错位相减法，综合性强，难度大．
1年前
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