解题思路:(1)欲求在x=1处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
(2)先求出函数的定义域,求出导函数,令导函数小于0以及导数大于0,求出x的范围,写出区间即为单调区间;
(3)利用分析法,要证f(x)≤[x−1/x]在定义域内恒成立,只需证lnx-x+1≤0在(0,+∞) 上恒成立,研究函数g(x)=lnx-x+1(x>0)的单调性可证得结论.
(1)f′(x)=
1−lnx
x2,k=f′(1)=1,
所以切线方程为y-0=(x-1),即x-y-1=0…(4分)
(2)易知x>0,由f'(x)>0得0<x<e,所以f(x)递增区间:(0,e)…(6分)
f'(x)<0得x>e,递减区间:(e,+∞) …(8分)
(3)要证f(x)≤[x−1/x]在定义域内恒成立
只需证xf(x)-x+1≤0在(0,+∞) 上恒成立,
只需证lnx-x+1≤0在(0,+∞) 上恒成立,
令g(x)=lnx-x+1(x>0),由g'(x)=[1/x]-1=0得x=1.
则在x=1处有极大值(也是最大值)g(1)=0 …(13分)
∴lnx-x+1≤0
∴f(x)≤[x−1/x]在(0,+∞) 上恒成立.
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;不等式的证明.
考点点评: 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力,利用导数研究函数的单调性,以及利用分析法进行证明不等式,属于中档题.