Question

关于勾股定理的难题已知CD为Rt三角形ABC的高,AC,BC,AB的长度分别是b,a,c.CD为h.求证：（1）c+h＞

Answer 1

(1)设直角三角形的面积为S,则

S

=1/2*ab (两直角边乘积)

=1/2*ch (底边乘以高)

于是 ab=ch.

要证 c+h>a+b,只需证 (c+h)^2>(a+b)^2.

注意到

(c+h)^2

=c^2+2hc+h^2 (利用c是斜边,c^2=a^2+b^2)

=a^2+b^2+2ab+h^2

=(a+b)^2+h^2 (***)

即(c+h)^2=(a+b)^2+h^2,从而 (c+h)^2>(a+b)^2,c+h>a+b.

(2)由(1)知c+h>a+b,又因为c+h>h,所以如果以a+b,c+h,h三边可以构成直角三角形,一定有c+h是斜边,因此只要验证 (c+h)^2=(a+b)^2+h^2.这在上面已经验证(见***式).于是a+b,c+h,h可构成直角三角形,且c+h是斜边.