Question

（2007•安徽）如图，在六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，D₁D⊥平面ABCD，则D₁D⊥DA，D₁D⊥DC，而平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD，则C₁D₁∥CD，D₁A₁∥DA，设E，F分别为DA，DC的中点，连接EF，A₁E，C₁F，易证A₁C₁∥AC，从而A₁C₁与AC共面，过点B₁作B₁O⊥平面ABCD于点O，连接OE，OF，则点O在BD上，从而D₁B₁与DB共面．

（Ⅱ）欲证平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面A₁ACC₁内一直线与平面B₁BDD₁垂直，因D₁D⊥平面ABCD，则D₁D⊥AC，又BD⊥AC，D₁D与BD是平面B₁BDD₁内的两条相交直线，则AC⊥平面B₁BDD₁，又平面A₁ACC₁过AC，满足定理所需条件；

（Ⅲ）直线DB是直线B₁B在平面ABCD上的射影则AC⊥DB，根据三垂线定理，有AC⊥B₁B．过点A在平面ABB₁A₁内作AM⊥B₁B于M，连接MC，MO，

则B₁B⊥平面AMC，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一个平面角，在三角形AMC中求出此角即可．

（Ⅰ）证明：∵D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，D₁D⊥平面ABCD．

∴D₁D⊥DA，D₁D⊥DC，平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD．

于是C₁D₁∥CD，D₁A₁∥DA．

设E，F分别为DA，DC的中点，连接EF，A₁E，C₁F，

有A₁E∥D₁D，C₁F∥D₁D，DE=1，DF=1．∴A₁E∥C₁F，

于是A₁C₁∥EF．由DE=DF=1，得EF∥AC，

故A₁C₁∥AC，A₁C₁与AC共面．

过点B₁作B₁O⊥平面ABCD于点O，

则B1O

∥

.

.A1E，B1O

∥

.

.C1F，连接OE，OF，

于是OE

∥

.

.B1A1，OF

∥

.

.B1C1，∴OE=OF．

∵B₁A₁⊥A₁D₁，∴OE⊥AD．∵B₁C₁⊥C₁D₁，∴OF⊥CD．

所以点O在BD上，故D₁B₁与DB共面．

（Ⅱ）证明：∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D⊥AC，

又BD⊥AC（正方形的对角线互相垂直），

D₁D与BD是平面B₁BDD₁内的两条相交直线，∴AC⊥平面B₁BDD₁．

又平面A₁ACC₁过AC，∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁．

（Ⅲ）∵直线DB是直线B₁B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB，

根据三垂线定理，有AC⊥B₁B．

过点A在平面ABB₁A₁内作AM⊥B₁B于M，连接MC，MO，

则B₁B⊥平面AMC，

于是B₁B⊥MC，B₁B⊥MO，

所以，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一个平面角．

根据勾股定理，有A1A=

5，C1C=

5，B1B=

6．

∵OM⊥B₁B，有OM=

B1O⋅OB

B1B=

2

3

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．