1.(x+y)dx+xdy=0
P=x+y；Q=x；∂P/∂y=1=∂Q/∂x,故原式是全微分方程,
U(x,y)=【0,x】∫(x+y)dx+【0,y】∫Q(0,y)dy=x²/2+xy=C；即x²/2+xy=C为其通解.
2.(y+xlny)y'=ylny
dy/dx=(ylny)/(y+xlny),那么dx/dy=(y+xlny)/(ylny)=1/lny+x/y
dx/dy-x/y=1/lny.(1)
先求齐次方程dx/dy-x/y=0的通分离变量得 dx/x-dy/y=0；积分之得lnx-lny=ln(x/y)=lnC₁
故得x/y=C₁；把积分常量C₁改为y的函数u,那么得x=uy.(2)；
两边对y取导数得dx/dy=u+y(du/dy).(3)
将(2)(3)代入(1)式得：u+ydu/dy-u=1/lny,于是得ydu/dy=1/lny；
再分离变量得du=dy/(ylny),积分之得u=∫dy/(ylny)=∫d(lny)/lny=ln(lny)+lnC=ln(Clny)
代入(2)式即得原方程的通解为 x=yln(Clny).
3.yy''+(y')²-y'=0
设y'=P,则y''=dP/dx=(dP/dy)(dy/dx)=PdP/dy,代入原方程得：
yPdP/dy+P²-P=0；分离变量得：PdP/(P-P²)=dy/y,即有dP/(1-P)=dy/y；
积分之得-ln(1-P)=lny+lnC₁=ln(yC₁)；于是得 C₁y=1/(1-P)=1/(1-y')；
即有1-y'=1/(C₁y),故y'=dy/dx=1-1/(C₁y)；再分离变量得 dx=dy/[1-1/(C₁y)]；
再积分之得 x=∫dy/[1-1/(C₁y)]=C₁∫ydy/(C₁y-1)=∫[1+1/(C₁y-1)]dy=∫dy+(1/C₁)∫d(C₁y-1)/(C₁y-1)
=y+(1/C₁)ln(C₁y-1)+C₂
即通解为:x=y+(1/C₁)ln(C₁y-1)+C₂
4.y''-6y'-13y=14
先求出齐次方程y''-6y'-13y=0的通特征方程r²-6r-13=0的根r₁=(6+√88)/2=2+√22
r₂=2-√22；故其通解为y=C₁e^[(2+√22)x]+C₂e^[(2-√22)x]；
不难看出：y=-14/13是原方程的一个特解；故得原方程的通解为：
y=C₁e^[(2+√22)x]+C₂e^[(2-√22)x]-14/13.
求下面四个方程的特
1.(y²+3x²)dy-2xydx=0,y(x=0)=0
dx/dy=(y²+3x²)/2xy=[(y/x)+3(x/y)]/2.(1)
令x/y=u,则x=uy.(2),dx/dy=u+ydu/dy,代入(1)式得：
u+ydu/dy=[(1/u)+3u]/2；即有 y(du/dy)=1/2u+3u/2-u=1/(2u)+u/2=(1+u²)/2u
分离变量得 2udu/(1+u²)=dy/y；积分之得 ln(1+u²)=lny+C,故得1+u²=e^(lny+C)=ye^C
u=√[(ye^C)-1],代入(2)式即得通解为 x=y√[(ye^C)-1]；
【题给的初始条件有问题,应改为y(0)=1】
将初始条件代入即得C=0,故得特解为：x=y√(y-1)；
2.y'sinx=ylny,y=(π/2)=e
分离变量得dy/(ylny)=dx/sinx；积分之：∫dy/(ylny)=∫dx/sinx
即有∫d(lny)/(lny)=ln(lny)=ln[Ctan(x/2)],即有 lny=Ctan(x/2)；将初始条件代入得C=1'
故得特解为 lny=tan(x/2)；
3.y''=3√x,y(x=0)=1,y'(x=0)=2
dy'=3(√x)dx；故y'=2x^(3/2)+C₁,将x=0时y'=2代入得C₁＝2；
故y'=2x^(3/2)+2；于是有dy=[2x^(3/2)+2]dx；故y=(4/5)x^(5/2)+2x+C₂；
将x=0时y=1代入得C₂=1,故得特解为 y=(4/5)x^(5/2)+2x+1
4.y''+4y=8x,y(x=0)=1,y'(x=0)=4
齐次方程y''+4y=0的特征方程为r²+4=0,故r₁=-2i；r₂=2i；
故原方程的余函数为 y=C₁cos(2x)+C₂sin(2x)；不难看出,原方程有一个特解y*=2x；
故原方程的通解为 y=C₁cos(2x)+C₂sin(2x)+2x.(1)
y'=-2C₁sin2x+2C₂cos2x+2.(2)；
将初始条件代入x=0,y=1代入(1)式得：C₁＝1；
将初始条件x=0时y'=4代入(2)式得：4=2C₂＋2,故C₂=1；
于是得原方程的特解为：y=cos(2x)+sin(2x)＋2x