Question

函数f（x）=[ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1/2)=25]．

Answer 1

解题思路：（1）通过f（0）=0求出b，通过

f(

1

2

)=

2

5

求出a，即可确定函数f（x）的解析式；

（2）利用f（x）在（-1，1）上是增函数，以及函数的奇偶性转化f（1-m）+f（1-m²）＜0为不等式组，即可求解实数m的取值范围．

（本题满分10分）

（1）∵函数f(x)=

ax+b

1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，∴b=0

∴f(x)=

ax

1+x2，x∈(-1，1)．

∵f(

1

2)=

2

5，即

1

2a

1+(

1

2)2=

2

5，∴a=1．

∴f(x)=

x

1+x2，x∈(-1，1)．

（2）因为f（x）在（-1，1）上是奇函数，所以f（1-m²）=-f（m²-1）

因为f（1-m）+f（1-m²）＜0，所以f（1-m）-f（m²-1）＜0，

即f（1-m）＜f（m²-1）

又因为f（x）在（-1，1）上是增函数，

所以

1-m＜m2-1

-1＜1-m＜1

-1＜m2-1＜1⇒

m＜-2或m＞1

0＜m＜2

-

2＜m＜0或0＜m＜

2

所以不等式的解集为(1 ，

2)．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的解析式的求法，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力．