Question

已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点，BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的角平分线．则∠D、∠A的关系为

Answer 1

（1）：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，

∴∠DBC=

1

2 ∠ABC，∠DCB=

1

2 ∠ACB，

∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-

1

2 （∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2 （180°-∠A）=90°+

1

2 ∠A，

∴∠BDC=90°+

1

2 ∠A，

即∠D=90°+

1

2 ∠A．

（2）：∵BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线

∴∠DBC=

1

2 ∠EBC，∠BCD=

1

2 ∠BCF，

∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角

∴∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A

∴∠DBC+∠BCD=

1

2 （∠EBC+∠BCD）=

1

2 （180°+∠A）=90°+

1

2 ∠A，

在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）=180°-（90°+

1

2 ∠A）=90°-

1

2 ∠A，即∠D=90°-

1

2 ∠A．

（3）∵BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线，

∴∠1=∠DBC=

1

2 ∠ABC，∠2=∠DCE=

1

2 （∠A+∠ABC），

∵∠ACE是△ABC的外角，

∴∠ACE=∠A+∠ABC，

∵∠DCE是△BCD的外角，

∴∠D=∠DCE-∠DBC

=∠DCE-∠1

=

1

2 ∠ACE-

1

2 ∠ABC

=

1

2 （∠A+∠ABC）-

1

2 ∠ABC

=

1

2 ∠A．

故答案为：∠D=90°+

1

2 ∠A；∠D=90°-

1

2 ∠A；∠D=

1

2 ∠A．