解题思路:(1)由f(x+2)=-f(x)可推知f(x+4)=f(x)得证.
(2)依题意求出f(x)在[-1,3)上的解析式,进而求出
f(x)=−
1
2
时x的值.再根据函数的周期性求出在[0,2010]上的所有x的个数.
(1)证明:∵f(x+2)=-f(x)
∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)
∴f(x)是以4为周期的函数.
(2)当0≤x≤1时,f(x)=[1/2]x,
设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,
∴f(-x)=(-x)=-x.
∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-[1/2]x,即f(x)=[1/2]x.故f(x)=[1/2]x(-1≤x≤1)
又设1<x<3,则-1<x-2<1,
∴f(x-2)=[1/2](x-2),
又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f[(-x)+2]=-[-f(-x)]=-f(x),
∴-f(x)=[1/2](x-2),∴f(x)=-[1/2](x-2)(1<x<3).
∴f(x)=
1
2x,−1≤x≤1
−
1
2(x−2),1<x<3
由f(x)=-[1/2],解得x=-1.
∵f(x)是以4为周期的周期函数.故f(x)=-[1/2]的所有x=4n-1(n∈Z).令0≤4n-1≤2010,则[1/4]≤n≤502,
又∵n∈Z,∴1≤n≤502(n∈Z),
∴在[0,2010]上共有502个x使f(x)=-[1/2].
点评:
本题考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质.
考点点评: 本题主要考查了函数的周期性.在解题的时候,要注意函数在不同区间上不同的解析式,这是容易出错的地方.