Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若a=1，且2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（　　）

Answer 1

解题思路：由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得（b+c）²-1=3bc，利用基本不等式求得 b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．

△ABC中，由余弦定理可得：2cosC=

a2+b2−c2

2ab，

∵a=1，2cosC+c=2b，

∴

1+b2−c2

b+c=2b，化简可得：（b+c）²-1=3bc，

∵bc≤（[b+c/2]）²，

∴（b+c）²-1≤3×（[b+c/2]）²，

解得：b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．

∴a+b+c≤3，

再由任意两边之和大于第三边可得：b+c＞a=1，

故有a+b+c＞2，

则△ABC的周长的取值范围是（2，3]，

故选：C．

点评：

本题考点： 余弦定理．

考点点评： 此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．