Question

大学线性代数求助!已知b1b2为非齐次线性方程组AX=B两个不同的解,A1A2为其导出组AX=0的一个基础解系,c1c2

Answer 1

首先,因为b1,b2为非齐次线性方程组AX=B两个解,即有 Abi=B,i=1,2

所以 A[1/2(b1+b2)]=(1/2)(Ab1+Ab2)=(1/2)(2B) = B.

所以 1/2(b1+b2) 也是AX=B 的解.

[ 一般情况:k1b1+k2b2 也是 AX=B 的解 k1+k2 = 1.

此处,k1=k2= 1/2]

其次,因为 A1,A2 为 导出组AX=0的一个基础解系

所以 A1,A1+A2 是AX=0的解

而 A2 = -A1+(A1+A2)

所以 A1,A2 与 A1,A1+A2 等价.

所以 r(A1,A1+A2) = r(A1,A2) = 2.

所以 A1,A1+A2 线性无关.

所以 A1,A1+A2 也是AX=0的一个基础解系

所以AX=B的通解可以表示为 1/2(B1+B2) + C1A1 + C2(A1+A2)

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