由几何关系，DF1=DF2=√2，则∠DF1F2=∠DF2F1=45°，∠F1DF2=90°
由椭圆定义，2a=DF1+DF2=2√2，则a²=2，又c=DF1/√2=1，得c²=1，故b²=2-1=1
所以椭圆的方程为：
x²/2+y²=1
△AF1B内切圆半径为：√(S/π)=r=2/5
而：S△AF1B=r(|AF1|+|F1B|+|AB|)/2
设A(x1,y1)，B(x2,y2)
椭圆两条准线的方程为：y=±2
由椭圆上的点的性质，有：
|AF2|/(2-x1)=e=c/a=1/√2
|BF2|/(2-x2)=e=c/a=1/√2
故：|AB|=AF2+BF2=2√2-(x1+x2)/√2
又有：
|AF1|/[x1-(-2)]=e=c/a=1/√2
|BF1|/[x2-(-2)]=e=c/a=1/√2
故：|AF1|+|BF1|=(x1+x2)/2+2√2
∴|AF1|+|F1B|+|AB|=2+2=4√2
∴S△AF1B=r(|AF1|+|F1B|+|AB|)/2=(2/5)·4√2/2=4√2/5
(3)不妨设y1>y2，则有y1>0>y2
S△AF1B=|y1-y2|·|F1F2|/2=|y1-y2|·2c/2=y1-y2=4√2/5
若AB的斜率不存在，不妨设A在第一象限，由AF2⊥X轴，易知A(1,√2/2)，B(1,-√2/2)
S△ABF1=√2·2/2=√2≠4√2/5
故AB存在斜率
设AB的斜率存在的方程为：
y=k(x-1)
代入椭圆方程，得：
(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0
|x1-x2|=√[(x1+x2)²-4x1x2]=...=2√(2k²+2)/(2k²+1)
|k|=(y1-y2)/|x1-x2|
又y1-y2=4√2/5
将以上各式代入，得：
9k^4+9k²-4=0
解得：
k²=1/3
即
k=±√3/3
故α=π/3，或α=2π/3
刚才居然把离心率写错了，唉。