三角形ABC中,AB=2 ,BC=1 ,AC=3^1/2,在边AB, BC, CA上取D, E ,F,三角形DEF为正三

1个回答

  • 易得△ABC为直角三角形,∠C=90,∠A=30

    设△DEF的边长为a

    则CF=acosβ,

    ∠ADF=180-(∠A+∠AFD)=180-(∠A+180-∠EDF-∠CFE)

    =30+β

    因为a/sinA=AF/sin∠ADF

    所以AF=2asin∠ADF=2asin(30+β)

    又AF+CF=AC

    所以acosβ+2asin(30+β)=√3

    所以a=√3/[cosβ+2sin(30+β)]=√3/[cosβ+cosβ+√3sinβ]

    =√3/[2cosβ+√3sinβ]

    设sinα=2/√7,cosα=√3/√7,α为锐角

    则 a=√3/[√7(sinαcosβ+cosαsinβ)]=√3/[√7sin(α+β)]

    显然当α+β=∏/2时 a最小(注:α不超过60,β不超过90)

    所以sinβ=sin(∏/2-α)=cosα=√3/√7