Question

已知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）在区间[[1/2]，4]上的最大值与最小值的差为3，求a的值．

Answer 1

解题思路：本题要对字母a进行讨论．①a＞1时，原函数在[[1/2]，4]为单调增函数，在根据最大值与最小值的差为3，即可列出关于a的方程即可求解②0＜a＜1 时，原函数在[[1/2]，4]为单调减函数，在根据最大值与最小值的差为3，即可列出关于a的方程即可求解

①当a＞1 时，f（x）=log_ax 在（0，+∞）上为增函数，

∴在[12，4]上函数f（x）的最小值，最大值分别为：f(x)min＝f(

1

2)＝loga(

1

2) f（x）_max=f（4）=log_a4，

∴loga4−loga(

1

2)＝3，

即log_a4+log_a2=log_a8=3，

而log₂8=3，

∴a=2；

②当0＜a＜1 时，f（x）=log_ax 在（0，+∞）上为减函数，

∴在[12，4]上函数f（x） 的最小值、最大值分别为 f（x）_min=f（4）=log_a4，f(x)max＝f(

1

2)＝loga(

1

2)，

∴loga(

1

2)−loga4＝3，

即loga(

1

2)+loga(

1

4)＝loga(

1

8)＝3，

而log

1

2(

1

8)＝3

∴a＝

1

2；

综上所述a=2 或a＝

1

2．

点评：

本题考点： 对数函数的值域与最值．

考点点评： 本题考查了对数函数的单调性，要注意对a的进行讨论，属于基础题．