Question

已知函数f（x）=a2x+2ax-1（a＞1，且a为常数）在区间[-1，1]上的最大值为14．

Answer 1

解题思路：（1）令t=a^x ＞0，由条件可得t=a^x∈[[1/a]，a]，f（x）=（t+1）²-2，故当t=a时，函数y取得最大值为a²+2a-1=14，求得a的值，可得f（x）的解析式．

（2）由f（x）=7，求得 3^x=2，从而得到x的值．

（1）令t=a^x ＞0，∵x∈[-1，1]，a＞1，∴a^x∈[[1/a]，a]，f（x）=y=t²+2t-1=（t+1）²-2，

故当t=a时，函数y取得最大值为a²+2a-1=14，求得a=3，∴f（x）=3^2x+23^x-1．

（2）由f（x）=7，可得 3^2x+23^x-1=7，即（3^x+4）（3^x-2）=0，求得 3^x=2，∴x=log₃2．

点评：

本题考点： 复合函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．