解题思路:求出导函数f′(x),根据f(x)在(1,2)上递减,在(2,-∞)上递增,可以确定f′(2)=0,从而求出k=[1/2]或k=-[3/8],再分别对它们进行验证是否符合题意,经过验证,判断出k=[1/2]时符合题意,k=-[3/8]时不合题意,最后确定存在k的值,使函数f(x)=k2x4-[2/3]x3-kx2+2x+[1/2]在(1,2)上递减,在(2,-∞)上递增.
∵f(x)=k2x4-[2/3]x3-kx2+2x+[1/2],
∴f′(x)=4k2x3-2x2-2kx+2,
∵函数f(x)=k2x4-[2/3]x3-kx2+2x+[1/2]在(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增,
∴当x∈(1,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,
由函数f′(x)的连续性可知,f′(2)=0,
∴f′(2)=32k2-4k-6=0,解得k=[1/2]或k=-[3/8],
下面对k=[1/2]或k=-[3/8]分别进行验证:
①若k=[1/2]时,f′(x)=x3-2x2-x+2=(x+1)(x-1)(x-2),
当1<x<2,f′(x)<0,
当x>2,f′(x)>0,
∴f(x)在(1,2)上递减,在(2,-∞)上递增,
∴k=[1/2]符合题意;
②若k=-[3/8]时,f′(x)=[9/16x3-2x2+
3
4x+2=
9
16(x-
7-
193
9)(x-2)(x-
7+
193
9),
当1<x<2,f′(x)>0,
∴f(x)在(1,2)上递增,
∴k=-
3
8]不合题意.
综合①②,存在k=[1/2],满足题意.
∴存在k=[1/2],使函数f(x)=k2x4-[2/3]x3-kx2+2x+[1/2]在(1,2)上递减,在(2,-∞)上递增.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,对于利用导数研究函数的单调性,注意导数的正负对应着函数的单调性.利用导数研究函数问题时,经常会运用分类讨论的数学思想方法.本题的关键是要注意对k的值进行验证,同时也是易错点.属于中档题.