Question

关于积分定义的问题,是证明存在区间[α,β]属于[0,1],是的f在区间[α,β]上恒正

Answer 1

设A = ∫{0,1} f(x)dx > 0.

由定积分的定义,当[0,1]上分划的直径充分小时,相应的Riemann和总与A充分接近.

具体来说,对ε = A/2 > 0,存在δ > 0,使得分划直径 < δ时,

Riemann和总在(A-ε,A+ε)范围内,于是有Riemann和 > A-ε = A/2 > 0.

断言f(x)必然在某个分划区间上恒正.

若不然,f(x)在每个分划区间上都可取到非正值,则存在该分划的一个Riemann和取非正值,矛盾.

因此存在[0,1]中的区间[α,β]使f(x)在[α,β]上恒正.