如图,正方形ABCD中,E是AD的中点,点F在DC上,且DC=4DF,试判断△BEF的形状,并证明你的结论.

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  • 解题思路:首先设DF=x,则DC=AB=BC=4x,则AE=ED=2x,CF=4x-x=3x,然后再利用勾股定理表示出EF2,EB2,BF2,再根据它们的关系得到EF2+EB2=BF2,根据勾股定理逆定理可得△BEF是直角三角形.

    △BEF是直角三角形.

    设DF=x,则DC=AB=BC=4x,

    ∴AE=ED=2x,CF=4x-x=3x.

    在Rt△EDF中,EF2=ED2+DF2=x2+(2x)2=5x2

    在Rt△AEB中,EB2=EA2+AB2=(2x)2+(4x)2=20x2

    在Rt△BCF中,BF2=BC2+CF2=(4x)2+(3x)2=25x2

    ∴EF2+EB2=BF2

    ∴△BEF是直角三角形.

    点评:

    本题考点: 勾股定理的逆定理;勾股定理;正方形的性质.

    考点点评: 此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理,关键是掌握勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方;勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.