已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证:a2+b2+c2>(a-b+c)2.

2个回答

  • 解题思路:左边减去右边等于2(ab+bc-ac ),用等比数列的定义以及基本不等式可得 a+c>b,进而推出2(ab+bc-ac )>0,

    从而证得不等式成立.

    证明:∵a2+b2+c2 -(a-b+c)2=2(ab+bc-ac ).

    ∵a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,∴b2 =ac≤(

    a+c

    2)2,

    开方可得

    a+c

    2≥

    b2,故 a+c≥2b>b.

    ∴2(ab+bc-ac )=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)>0,

    ∴a2+b2+c2 -(a-b+c)2>0,∴a2+b2+c2>(a-b+c)2

    点评:

    本题考点: 不等式的证明;基本不等式;等比数列的性质.

    考点点评: 本题主要考查基本不等式的应用,等比数列的定义和性质,用比较法证明不等式,属于中档题.