Question

已知函数f（x）=kx+b（k≠0），f（4）=10，又f（1），f（2），f（6）成等比数列．

Answer 1

解题思路：（I）根据等比中项的性质得出f²（2）=f（1）•f（6），然后代入函数f（x）求出2k+3b=0，再由f（4）=10得出4k+b=10，即可求出k、b的值从而得出函数f（x）的解析式．

（II）先由（1）得出2^3n-2+2n，然后采取分组求和法，再由等比数列和等差数列的前n项和公式得出结果．

（I）由题意，知：f²（2）=f（1）•f（6），

即（2k+b）²=（k+b）（6k+b）…（2分）

即2k²=-3kb…（3分）

∵k≠0，∴2k+3b=0…（4分）

又f（4）=10，所以4k+b=10

所以，k=3，b=-2…（6分）

∴函数f（x）的解析式为f（x）=3x-2…（7分）

（II）由（1）知：a_n=2^3n-2+2n．

所以，数列{a_n}的前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2+2⁴+2⁷+…+2^3n-2）+2（1+2+…+n）

=

2(1−8n)

1−8+2•

(1+n)n

2=

2

7(8n−1)+n(n+1)…（14分）

点评：

本题考点： 等比数列的性质；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．

考点点评： 本题考查了等比数列的性质、等差数列和等比数列的前n项和公式，熟练掌握相关知识可以提高做题效率，属于中档题．