Question

平面上n个点连接成三角形平面上n个两两不共线的点,可以连接成多少个不共边的三角形?好吧,我写错了,是任意3个点不共线PS

Answer 1

n=3,不共边的三角形的总数=1,n=4,不共边的三角形的总数=1,【任选3个点构成1个三角形后,如果还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含第4个点.这个三角形的另外2个点一定来自前3个点.这样,另外2个点相连的边一定是第1个三角形的1条边.矛盾,因此4个点只能构成1个不共边的三角形】 n=5,不共边的三角形的总数=1+1,【任选3个点构成1个三角形后,由n=4时的讨论知,其他和第1个三角形不共边的三角形中至多只能包含前3个点中的1个点.这样,其他不共边的三角形中的2个点一定是第4和第5个点,三角形的最后1个点来自前3个点中的1个.但其他的3个这样的三角形都共第4个点和第5个点连成的边.因此,除第1个三角形以外,另外只有1个不共边的三角形.】 n=6,不共边的三角形的总数=2+2,【由n=5的讨论知,任选5个点可以构成不共边的2个三角形.设这2个三角形的顶点分别为[P(1-2-3)]和[P(1-4-5)].若还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含剩下的点P(6),另外的2个顶点不能来自前面的2个三角形中的同一个三角形,只能从2个三角形中各选1个顶点[因P(1)和P(2)~P(4)之间已经有边了,因此,不能选P(1)].因此,其他的三角形为[P(2-4-6)],[P(3-5-6)]】 n=7,不共边的三角形的总数=4+3,【由n=6的讨论知,任选6个点可以构成不共边的4个三角形.设这4个三角形的顶点分别为[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(2-4-6)]和[P(3-5-6)].若还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含剩下的点P(7),另外的2个顶点不能来自前面的三角形中的同一个三角形.因此,其他的三角形为[P(1-6-7)][P(1)和P(2)~P(5)之间都已经有边了,只能选P(6).],[P(2-5-7)],[P(3-4-7)]】 n=8,不共边的三角形的总数=7+0,【由n=7的讨论知,任选7个点可以构成不共边的7个三角形.设这些三角形的顶点分别为[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(1-6-7)],[P(2-4-6)],[P(2-5-7)],[P(3-4-7)],[P(3-5-6)].若还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含剩下的点P(8),另外的2个顶点不能来自前面的三角形中的同一个三角形.因此,没有其他的三角形了】 n=9,不共边的三角形的总数=7+1,【由n=8的讨论知,任选8个点可以构成不共边的7个三角形.设这些三角形的顶点分别为[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(1-6-7)],[P(2-4-6)],[P(2-5-7)],[P(3-4-7)],[P(3-5-6)].若还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含剩下的点P(9),另外的2个顶点不能来自前面的三角形中的同一个三角形.因此,其他的三角形为[P(1-8-9)]】 n=10,不共边的三角形的总数=8+2,【由n=9的讨论知,任选9个点可以构成不共边的8个三角形.设这些三角形的顶点分别为[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(1-6-7)],[P(1-8-9],[P(2-4-6)],[P(2-5-7)],[P(3-4-7)],[P(3-5-6)].若还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含剩下的点P(10),另外的2个顶点不能来自前面的三角形中的同一个三角形.因此,其他的三角形为[P(2-8-10)],[P(3-9-10）]】 n=11,不共边的三角形的总数=10+3,【由n=10的讨论知,任选10个点可以构成不共边的10个三角形.设这些三角形的顶点分别为[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(1-6-7)],[P(1-8-9],[P(2-4-6)],[P(2-5-7)],[P(2-8-10],[P(3-4-7)],[P(3-5-6)],[3-9-10].若还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含剩下的点P(11),另外的2个顶点不能来自前面的三角形中的同一个三角形.因此,其他的三角形为[P(1-10-11)],[P(2-9-11）],[P(3-8-11)]】 n=12,不共边的三角形的总数=13+4,【由n=11的讨论知,任选11个点可以构成不共边的13个三角形.设这些三角形的顶点分别为[P(1-2-3)],[P(1-4-5)],[P(1-6-7)],[P(1-8-9],[P(1-10-11)],[P(2-4-6)],[P(2-5-7)],[P(2-8-10],[P(2-9-11)],[P(3-4-7)],[P(3-5-6)],[P(3-8-11)],[P(3-9-10)].若还有不共边的三角形,则这个三角形一定包含剩下的点P(12),另外的2个顶点不能来自前面的三角形中的同一个三角形.因此,其他的三角形为[P(4-8-12)],[P(5-9-12）],[P(6-10-12)],[P(7-11-12)]】 诶呀,找不到规律哈.