解题思路：根据题意得甲报出的数中第一个数为1，第2个数为1+4，第3个数为1+4×2，第4个数为1+4×3，…，第n个数为1+4（n-1），由于1+4（n-1）=2013，解得n=504，则甲报出了504个数，再观察甲报出的数得到从1开始每三个数里有一个数为3的倍数，所以甲报出的数为3的倍数的个数有504÷3=168（个）．
甲报的数为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，…，2013，
即第一个数为1，第2个数为1+4，第3个数为1+4×2，第4个数为1+4×3，…，第n个数为1+4（n-1），则1+4（n-1）=2013，解得n=504，
所以甲报出了504个数，并且从1开始每三个数里有一个数为3的倍数，甲报出的数为3的倍数的个数有504÷3=168（个），
所以在这个活动中，甲同学需要拍手的次数为168．
故答案为168．
点评：
本题考点： 规律型：数字的变化类．
考点点评： 本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．