[(1)-(3),10分]如图,已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC(或其延长线)的距离分别为h

3个回答

  • 解题思路:(1)图②-⑤中的关系依次是h1+h2+h3=h; h1-h2+h3=h; h1+h2+h3=h;h1+h2-h3=h.

    (2)解直角三角形得出h1=BPsin60°,h2=PCsin60°,h3=0,求出h1+h2+h3=ACsin60°,即可得出答案;

    (3)根据三角形面积公式和等边三角形性质得出[1/2]BC×AM=[1/2]AB×PD+[1/2]AC×PE+[1/2]BC×PF,AB=BC=AC,即可得出答案;

    (4)连接CP,BP,RP,过R作RQ⊥BC于Q,求出BR、CS,根据面积公式求出即可.

    (1)图②-⑤中的关系依次是:

    h1+h2+h3=h; h1-h2+h3=h; h1+h2+h3=h;h1+h2-h3=h.

    (2)图②中,h1+h2+h3=h.

    证明:∵h1=BPsin60°,h2=PCsin60°,h3=0,

    ∴h1+h2+h3=BPsin60°+PCsin60°

    =BCsin60°

    =ACsin60°

    =h.

    (3)证明:如图,

    连接AP、BP、CP,

    S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB

    ∴[1/2]BC×AM=[1/2]AB×PD+[1/2]AC×PE+[1/2]BC×PF,

    ∵AB=BC=AC,

    ∴PD+PE+PF=AM,

    即h1+h2+h3=h;

    (4)

    连接CP,BP,RP,过R作RQ⊥BC于Q,

    则RQ∥SF,

    ∵RS∥BC,

    ∴四边形RQFS是平行四边形,

    ∴RS=QF=n,

    ∵梯形RBCS是等腰梯形,

    ∴BQ=FC=[1/2](m-n),

    ∵∠B=∠C=60°,

    ∴BR=CS=2BQ=(m-n),

    ∴S梯形BCRS=S△BRP+S△BCP+S△CSP+S△RPS

    ∴[1/2]•(m-n)•h1+[1/2]•m•h2+[1/2]•(m-n)•h3+[1/2]•n•h4=[1/2](m+n)h

    ∴(m-n)h1+mh2+(m-n)h3+nh4=(m+n)h,

    m(h1+h2+h3)-n(h1+h3-h4)=(m+n)h,

    ∴图(4)与图(6)中的等式有当n=0时,图形(6)的等式就变成图形(4)的等式,

    故答案为:m(h1+h2+h3)-n(h1+h3-h4)=(m+n)h.

    点评:

    本题考点: 四边形综合题.

    考点点评: 本题考查了三角形面积,平行四边形性质和判定,等腰梯形性质,解直角三角形的应用,主要考查学生综合运用性质进行计算的能力,题目比较好,由一定的难度.