解题思路:(1)图②-⑤中的关系依次是h1+h2+h3=h; h1-h2+h3=h; h1+h2+h3=h;h1+h2-h3=h.
(2)解直角三角形得出h1=BPsin60°,h2=PCsin60°,h3=0,求出h1+h2+h3=ACsin60°,即可得出答案;
(3)根据三角形面积公式和等边三角形性质得出[1/2]BC×AM=[1/2]AB×PD+[1/2]AC×PE+[1/2]BC×PF,AB=BC=AC,即可得出答案;
(4)连接CP,BP,RP,过R作RQ⊥BC于Q,求出BR、CS,根据面积公式求出即可.
(1)图②-⑤中的关系依次是:
h1+h2+h3=h; h1-h2+h3=h; h1+h2+h3=h;h1+h2-h3=h.
(2)图②中,h1+h2+h3=h.
证明:∵h1=BPsin60°,h2=PCsin60°,h3=0,
∴h1+h2+h3=BPsin60°+PCsin60°
=BCsin60°
=ACsin60°
=h.
(3)证明:如图,
连接AP、BP、CP,
S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB,
∴[1/2]BC×AM=[1/2]AB×PD+[1/2]AC×PE+[1/2]BC×PF,
∵AB=BC=AC,
∴PD+PE+PF=AM,
即h1+h2+h3=h;
(4)
连接CP,BP,RP,过R作RQ⊥BC于Q,
则RQ∥SF,
∵RS∥BC,
∴四边形RQFS是平行四边形,
∴RS=QF=n,
∵梯形RBCS是等腰梯形,
∴BQ=FC=[1/2](m-n),
∵∠B=∠C=60°,
∴BR=CS=2BQ=(m-n),
∴S梯形BCRS=S△BRP+S△BCP+S△CSP+S△RPS,
∴[1/2]•(m-n)•h1+[1/2]•m•h2+[1/2]•(m-n)•h3+[1/2]•n•h4=[1/2](m+n)h
∴(m-n)h1+mh2+(m-n)h3+nh4=(m+n)h,
m(h1+h2+h3)-n(h1+h3-h4)=(m+n)h,
∴图(4)与图(6)中的等式有当n=0时,图形(6)的等式就变成图形(4)的等式,
故答案为:m(h1+h2+h3)-n(h1+h3-h4)=(m+n)h.
点评:
本题考点: 四边形综合题.
考点点评: 本题考查了三角形面积,平行四边形性质和判定,等腰梯形性质,解直角三角形的应用,主要考查学生综合运用性质进行计算的能力,题目比较好,由一定的难度.