(1)∵a[1]=2,a[n]=2a[n-1]-1,n≥2
∴a[n]-1=2(a[n-1]-1) n≥2
∵a[1]-1=1
∴{a[n]-1}是首项为1公比为2的等比数列
∵a[n]-1=2^(n-1)
∴a[n]=2^(n-1)+1
(2)∵a[1]=1,a[n+1]-a[n]=3^n-n
∴a[n]-a[n-1]=3^(n-1)-(n-1)
.
a[3]-a[2]=3^2-2
a[2]-a[1]=3^1-1
上述各项叠加：
a[n]-a[1]=[(3^1+3^2+...+3^(n-1)]-[1+2+...+(n-1)]
∴a[n]=3[3^(n-1)-1]/2-n(n-1)/2+1
(3)∵a[n+1]=2^n*a[n],且a[1]=1
∴a[n+1]/a[n]=2^n
∵a[n]=(a[n]/a[n-1])(a[n-1]/a[n-2])...(a[3]/a[2])(a[2]/a[1])a[1]
∴a[n]=2^(n-1)*2^(n-2)*...*2^2*2^1
=2^[(n-1)+(n-1)+...+2+1]
=2^[n(n-1)/2]