Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．

Answer 1

（Ⅰ）∵不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）

∴x=1和x=3是方程ax ²+（b+2）x+c=0（a＜0）的两根

∴

b+2

a =-4

c

a =3

∴b=-4a-2，c=3a

又方程f（x）+6a=0有两个相等的实根

∴△=b ²-4a（c+6a）=0

∴4（2a+1） ²-4a×9a=0

∴（5a+1）（1-a）=0

∴ a=-

1

5 或a=1（舍）

∴ a=-

1

5 ，b=-

6

5 ，c=-

3

5

∴ f(x)=-

1

5 x 2 -

6

5 x-

3

5

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax ²-2（2a+1）x+3a= a(x-

2a+1

a )-

(2a+1) 2

a +3a =

- a 2 -4a-1

a

∵a＜0，

∴f（x）的最大值为

- a 2 -4a-1

a

∵f（x）的最大值为正数

∴

a＜0

- a 2 -4a-1

a ＞0

∴

a＜0

a 2 +4a+1＞0 解得 a＜-2-

3 或 -2+

3 ＜a＜0

∴所求实a的取值范围是 (-∞，-2-

3 )∪(-2+

3 ，0)