解题思路:把已知函数化简可得
f(x)=1−
sinx
x
2
+cosx+1
,构造函数g(x)=
sinx
x
2
+cosx+1
,利用定义可知g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,即最值和为0,而g(x)取最大值(最小值)时f(x)取最小值(最大值),整体代入求值
∵f(x)=
x2+cosx+1−sinx
x2+cosx+1=1−
sinx
x2+ cosx+1
令g(x)=
sinx
x2+cosx+1,则g(x)=1-f(x)
g(−x)=
sin(−x)
(−x)2+cos(−x)+1= −g(x)
∴函数g(x)为奇函数,图象关于原点对称,最大值与最小值也关于原点对称,即函数g(x)的最值的和为0
∵f(x)=1-g(x)
∴M+m=1-g(x)min+1-g(x)max=2
故答案为:2
点评:
本题考点: 函数的最值及其几何意义.
考点点评: 本题考查了利用函数的性质:奇偶像解决函数的最值问题,解题时,不是把最大及最小值分别求出,而是利用整体思想求解,要灵活运用该方法.