已知函数f(x)=x2+cosx−sinx+1x2+cosx+1(x∈R)的最大值为M,最小值为m,则M+m=_____

1个回答

  • 解题思路:把已知函数化简可得

    f(x)=1−

    sinx

    x

    2

    +cosx+1

    ,构造函数g(x)=

    sinx

    x

    2

    +cosx+1

    ,利用定义可知g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,即最值和为0,而g(x)取最大值(最小值)时f(x)取最小值(最大值),整体代入求值

    ∵f(x)=

    x2+cosx+1−sinx

    x2+cosx+1=1−

    sinx

    x2+ cosx+1

    令g(x)=

    sinx

    x2+cosx+1,则g(x)=1-f(x)

    g(−x)=

    sin(−x)

    (−x)2+cos(−x)+1= −g(x)

    ∴函数g(x)为奇函数,图象关于原点对称,最大值与最小值也关于原点对称,即函数g(x)的最值的和为0

    ∵f(x)=1-g(x)

    ∴M+m=1-g(x)min+1-g(x)max=2

    故答案为:2

    点评:

    本题考点: 函数的最值及其几何意义.

    考点点评: 本题考查了利用函数的性质:奇偶像解决函数的最值问题,解题时,不是把最大及最小值分别求出,而是利用整体思想求解,要灵活运用该方法.