Question

曲线C由r=r(θ),θ∈[α,β]确定,则C的弧长公式为s=?

Answer 1

1. r=r(θ)写成参数方程x=r(θ)cosθ, y=r(θ)sinθ, θ∈[α,β]

x'=r'(θ)cosθ-r(θ)sinθ, y'=r'(θ)sinθ-r(θ)cosθ,

则 ds=√[( x')²+( x')²]

s=∫f(x,y)ds=(θ从α到β积分)∫f[r(θ)cosθ,r(θ)sinθ]√[( x')²+( x')²]dθ

2. 求出 x∈[-1,0]时,f(x)= -x

故 a0=(从-1到1积分)∫f(x)dx= 1

an=(从-1到1积分)∫f(x)cos(nπx)dx

=(从-1到0积分)∫-xcos(nπx)dx +(从0到1积分)∫xcos(nπx)dx

xcos(nπx)的原函数为 xsin(nπx)/nπ + cos(nπx)/(n²π²)

当n奇数时,an= -4)/(n²π²)

当n偶数时, an=0

bn=(从-1到1积分)∫f(x)sin(nπx)dx

=(从-1到0积分)∫-xsin(nπx)dx +(从0到1积分)∫xsin(nπx)dx

xsin(nπx)的原函数为 -xcos(nπx)/(nπ) + sin(nπx)/(n²π²)

当n奇数时,bn= 0

当n偶数时,bn=0 (虽然n无论是奇偶,bn=0,但是要分情况讨论才得到结果)

把a0,an,bn代入就能得到f(x)的傅立叶级数

3. 锥面z=√(x²+y²)被截在柱面x²+y²=2x内部的部分在平面xoy上的投影为

D(x,y)={(x,y)∣x²+y²=2x}

x^2+y^2=2x 可化为 (x-1)²+y²=1

令x=rcosθ+1, y=rsinθ, 0≤θ≤2π, 0≤r≤1

所以 I=∫∫(x²+y²)ds

=(r从0到1积分)∫rdr*(θ从0到2π积分)∫[(cosθ+1)²+sin²θ]dθ

= 2π