Question

（2014•安徽模拟）设f′（x）为函数f（x）的导数，对任意x∈R，都有0＜f（x）＜1且0＜f′（x）＜1．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）求导说明单调性，一负一正，则有唯一的零点；（Ⅱ）利用数学归纳法证明．

证明：（Ⅰ）∵F′（x）=f′（x）-1，

又∵0＜f′（x）＜1，∴F′（x）＜0．

则函数F（x）在R上为减函数，

又∵F（0）=f（0）-0＞0，

F（2）=f（2）-2＜0，

则函数F（x）=f（x）-x有唯一零点x₀．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x₀）=x₀；

∵0＜f′（x）＜1．x∈R，

∴函数f（x）在R上是增函数；

①∵x₁＞x₀，∴f（x₁）＞f（x₀）；又∵x_n+1=f（x_n）；

即x₂＞x₀，

②假设x_n-1＞x₀，则f（x_n-1）＞f（x₀），

即x_n＞x₀．

故x_n＞x₀（n∈N^*）．

又∵x_n+1-x_n=f（x_n）-x_n=F（x_n）；

且函数F（x）在R上为减函数，又x_n＞x₀，

∴x_n+1-x_n=F（x_n）＜F（x₀）=0，

∴x_n+1＜x_n；

∴数列{x_n}为单调递减数列．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；函数的零点；数列的函数特性．

考点点评： 本题考查了函数导数的综合应用及数学归纳法．属于难题．