基础解系是对齐次线性方程组而言的, 题目应该为:
若a1,a2,a3为Ax=0的基础解系,则a1+a2,a2+a3,a3+a1也是Ax=0的基础解系
证明一个向量组是基础解系需证:
1. 都是解
2. 线性无关
3. 向量个数达到基础解系所含向量个数, 即 n-r(A)
3'. 任一解向量可由它线性表示
1.由于齐次线性方程组的解的线性组合仍是解, 所以 a1+a2,a2+a3,a3+a1都是Ax=0的解
2.由 (a1+a2,a2+a3,a3+a1) = (a1,a2,a3)B
B =
1 0 1
1 1 0
0 1 1
|B| = 2, 所以B可逆
所以 a1+a2,a2+a3,a3+a1与a1,a2,a3等价
所以 r(a1+a2,a2+a3,a3+a1) = r(a1,a2,a3)=3
故 a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关, 且任一解向量可由它线性表示.
所以 a1+a2,a2+a3,a3+a1也是Ax=0的基础解系.
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