Question

如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，B

Answer 1

解题思路：（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP，根据勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；

（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．

连接AO，OB，OC，

∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，

∴OR=OQ，OR=OP，

∴由勾股定理得：AR²=OA²-OR²，AQ²=AO²-OQ²，

∴AR=AQ，

同理BR=BP，CQ=CP，

即O在∠ACB角平分线上，

设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，

则

x+z＝7

x+y＝8

y+z＝9

x=3，y=5，z=4，

∴BP=3，CQ=5，AR=4．

（2）

过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，

∵O在∠A的平分线，

∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，

∵∠A=60°，

∴∠NOM=120°，

∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，

∴∠EBC+∠FCB=[1/2]（∠ABC+∠ACB）=[1/2]×（180°-∠A）=60°，

∴∠FON=∠EOM，

在△FON和△EOM中

∠ONF＝∠OME

ON＝OM

∠FON＝∠EOM

∴△FON≌△EOM，

∴OE=OF．

点评：

本题考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．