Question

已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1-an．

Answer 1

解题思路：（1）由数列递推式构造出等比数列{a_n+1-a_n}，即数列{b_n}是等比数列；

（2）由（1）求出等比数列的通项公式，进一步得到

a

n+1

−

a

n

＝

2

n

，累加后求出a_n的通项公式，代入na_n后

利用分组求和和错位相减法求和得到数列{na_n}的前n项和为S_n，代入S_n+

n(n+1)

2

＞120得到该式成立的正整数n的最小值．

（1）证明：由a_n+1=2a_n+1，得a_n=2a_n-1+1（n≥2），

两式相减得：（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）．

∵b_n=a_n+1-a_n，

∴b_n=2b_n-1．

又b₁=a₂-a₁=（2a₁+1）-a₁=a₁+1=2．

∴数列{b_n}是以2为首项，以2为公比等比数列；

（2）由（1）得bn＝2n，即an+1−an＝2n，

∴an＝a1+(a2−a1)+(a3−a2)+…+(a n−an−1)＝1+2+22+…2n−1＝2n−1，

∴nan＝n•2n−n，

∴Sn＝(1•21−1)+(2•22−1)+…+(n•2n−n)＝(1•21+2•22+…+n•2n)−

n(n+1)

2，

令T=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ ①，

则2T=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹ ②，

①-②得：-T=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹，

∴T=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，

∴Sn＝(n−1)•2n+1+2−

n(n+1)

2，

由S_n+

n(n+1)

2＞120，得（n-1）•2ⁿ⁺¹+2＞120，

即（n-1）•2ⁿ⁺¹＞118，

∵当n∈N₊时，（n-1）•2ⁿ⁺¹单调递增，

∴正整数n的最小取值为5．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查了等比关系的确定，考查了分组法和错位相减法求数列的和，训练了数列不等式的解法，是中高档题．