Question

已知函数f（x）=ax2-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列{[1f(n)}的前

Answer 1

解题思路：求出函数的导数，利用导数的几何意义求出a，利用裂项法即可求出S₂₀₁₃的值．

∵f（x）=ax²-1，

∴f′（x）=2ax，

则在点A（1，f（1））处的切线l的斜率k=f′（1）=2a，

∵图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，

∴k=f′（1）=2a=8，解得a=4，

即f（x）=4x²-1，则f（n）=4n²-1，

则[1

f(n)＝

1

4n2−1＝

1

(2n−1)(2n+1)=

1/2]（[1/2n−1]−

1

2n+1），

则S₂₀₁₃=[1/2]（1−

1

3+

1

3−

1

5+…+[1/4025−

1

4027]）=[1/2]（1-[1/4027]）=[2013/4027]，

故选：D．

点评：

本题考点： 数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查数列的前n项和，利用导数的几何意义求出a的值，利用裂项法是解决本题的关键．