由A、B两点坐标及位置特点,可以看出,动点P在x轴正半轴上的某个位置可能使∠APB取最大值.利用平面几何中的圆外角小于圆周角,设过AB且与x轴正半轴相切的圆与x轴的切点为P,则P点即为所求的点.
那么怎么求P呢?较常规的做法是设过AB且与x轴正半轴相切的圆的圆心为(x,y),则P(x,0).因为A,B,P三点俱在圆上,因此OA=OB=OP,三者平方也必定相等.
即y^2=(x-1)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-3)^2
由(x-1)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-3)^2可得y=4-x
因此(4-x)^2=(x-1)^2+(3-x)^2
解得x=根号6.因此选D.
上述方法比较容易想到,但计算有点麻烦.
其实在三角形OBP中,OAP和OPB是相似的,
因此OP/OB=OA/OP,所以OP^2=OA•OB=√2×√18=6
故OP=√6
（那么为什么△OAP∽△OPB呢?
因为∠POA=∠BOP,∠OAP=∠OPB
∠OAP=∠OPB,记得是一个定理,必要的话这里给出一种证明：
如图,∠OPB=∠OPC+∠1=90°+∠1
而在△OPB中,90°+∠1=180°-∠C
∠C=∠2,所以90°+∠1=180-∠2=∠OAP
因此∠OAP=∠OPB）