Question

已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1） 2 +（y+1） 2 =12．

Answer 1

（1）由

y=kx+1

(x-1 ) 2 +( y+1) 2 =12 ，消去y得到（k ²+1）x ²-（2-4k）x-7=0，

∵△=（2-4k） ²+28k ²+28＞0，

∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

（2）设直线与圆相交于A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），

则直线l被圆C截得的弦长|AB|=

1+ k 2 |x ₁-x ₂|=2

8-4k+11 k 2

1+ k 2 =2

11-

4k+3

1+ k 2 ，

令t=

4k+3

1+ k 2 ，则有tk ²-4k+（t-3）=0，

当t=0时，k=-

3

4 ；

当t≠0时，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，

解得：-1≤t≤4，且t≠0，

则t=

4k+3

1+ k 2 的最大值为4，此时|AB|最小值为2

7 ，

则直线l被圆C截得的最短弦长为2

7 ．