Question

已知：数列{a n }前n项和为S n ，a n +S n =n，数列{b n }中b 1 =a 1 ，b n+1 =a

Answer 1

（1）∵a _n+S _n=n，∴n=1时， a 1 =

1

2

n=2时，a ₂+S ₂=2，∴ a 2 =

3

4

n=3时，a ₃+S ₃=3，∴ a 3 =

7

8

n=4时，a ₄+S ₄=4，∴ a 4 =

15

16 ；…（2分）

（2）猜想： a n =1-

1

2 n ，下面用数学归纳法证明：…（3分）

①当n=1时， a 1 =1-

1

2 1 =

1

2 ，猜想成立；

②假设当n=k时猜想成立，即 a k =1-

1

2 k ，

则当n=k+1时， a k+1 = S k+1 - S k =(k+1)- a k+1 -k+ a k =- a k+1 +1+1-

1

2 k ，

即 2 a k+1 =2-

1

2 k ，∴ a k+1 =1-

1

2 k+1 ，即当n=k+1时猜想也成立，

∴由①②知：n∈N ^*时 a n =1-

1

2 n 都成立．…（8分）

（3）∵b _n+1=a _n+1-a _n，∴ b n = a n - a n-1 =

1

2 n （n≥2），

∵ b 1 = a 1 =

1

2 ，∴ b n =

1

2 n （n∈N ^*）．…（10分）