Question

（2012•浦东新区一模）已知正三棱锥O-ABC的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为60°，则此三棱锥的体积为3123

Answer 1

解题思路：三棱锥O-ABC的侧棱与底面ABC所成的角都是60°，故O-ABC是正三棱锥．由此入手，能够求出此三棱锥的体积．

∵三棱锥O-ABC的侧棱与底面ABC所成的角都是60°，

∴O-ABC是正三棱锥．

过O作OG⊥平面ABC交于点G，延长AG交BC于D．

∵O-ABC是正三棱锥，

∴点G是△ABC的中心，

∴AD是等边△ABC的一条高，

∴AD=

3

2BC=

3

2，

∴AG=

2

3AD=

3

3．

∵OG⊥平面ABC，

∴∠ABG=60°，

∴OA=2AG=

2

3

3，OG=

3AG=1．

∵△ABC是正三角形，

∴BD=CD=

BC

2=

1

2，而OB=OC，∴OD⊥BD，

∴OD=

OB2−BD2=

OA2−BD2=

4

3−

1

4=

13

12，

∴△ABC的面积=

1

2AB²sin60°=

1

2×1×

3

2=

3

4．

∴O-ABC的体积为

1

3×S_△ABC×OG=

1

3×

3

4×1=

3

12．

故答案为：

3

12．

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．