Question

（2012•安徽模拟）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，M，N分别为A1B，B1C1的中点．

Answer 1

解题思路：（1）由直三棱柱的几何特征，易得直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，然后由线面平行的判定定理得到BC∥平面MNB₁；

（2）连接AC₁，由AC=AA₁，得四边形ACC₁A₁是正方形，结合，∠ACB=90°，M，N分别是A₁B和B₁C₁的中点．我们易得BC⊥平面ACC₁A₁，连接AB₁，则A₁B与AB₁的交点即为AB₁的中点M，故MN∥AC₁，由线面垂直的判定定理得到MN⊥平面A₁BC，再由面面垂直的判定定理得到平面MNB₁⊥平面A₁CB．

证明：∵BC∥B₁C₁，且B₁C₁⊂平面MNB₁，BC⊄平面MNB₁，

∴BC∥平面MNB₁；

（2）连接AC₁，由AC=AA₁，得四边形ACC₁A₁是正方形

∴AC₁⊥A₁C，

直三棱柱中CC₁⊥平面ABC，

∴CC₁⊥BC，

又BC⊥AC

∴BC⊥平面ACC₁A₁，

∴BC⊥AC₁．

∵A₁C∩BC=C

∴AC₁⊥平面A₁BC

连接AB₁，则A₁B与AB₁的交点即为AB₁的中点M，

又∵N是B₁C₁的中点，

∴MN∥AC₁，

∴MN⊥平面A₁BC且MN⊂B₁MN

∴平面MNB₁⊥平面A₁CB．

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握直三棱柱的几何特征，熟练掌握空间直线与平面之间位置的判定、性质是解答本题的关键．